De fractale structuur van harmonische oscillatoren in muziek: Nieuwjaarsconcert: JS.Bach. Brandenburg concerten.

De analyse van de structuur van verschillende muziekwerken heeft aangetoond dat de selectie van de notities van verschillende componisten op verschillende tijdstippen enkele gemeenschappelijke elementen heeft. Dit is een van de Brandenburgse concerten van Bach, van het strijkkwartet # 3 van Babbit, van pianowerken van Scott Joplin, al deze werken hebben dezelfde vorm als de structuur wordt beschouwd in termen van frequenties. We zullen dit hieronder toelichten.

In de auditieve analyse van verschillende muziekwerken is een hoeveelheid die is bestudeerd de audiokracht van muziek. Deze hoeveelheid is in wezen de energie die elke seconde wordt uitgestraald in de vorm van geluidsgolven, wanneer het muzikale werk wordt uitgevoerd. Door te analyseren hoe deze kwantiteit is gestructureerd, in termen van frequentie, wordt het spectrum verkregen.

Hoe hangen de spectra van de verschillende muziekwerken af ​​van de frequentie?

Analyses gemaakt van verschillende muziekwerken hebben aangetoond dat hun spectra afhangen van de frequentie, die we met de letter f zullen noemen, zoals (1 / f). Als we ons herinneren wat in het vorige hoofdstuk is geanalyseerd, zien we dat dit spectrum een ​​machtswet is die, in wiskundige taal, afhangt van de frequentie in omgekeerde richting van de eerste macht van f (sinds de exponent van f in (1) / f) is 1). Daarom, zoals reeds beschreven, is dit spectrum zelf-gelijkaardig en bevat daarom een ​​fractale structuur.

Een spectrum van het type dat in de vorige paragraaf is genoemd, wordt het roze spectrum genoemd.

Waarom kozen Bach en vele andere componisten voor het roze spectrum? De realiteit is dat geen enkele muzikant ooit van deze ideeën heeft gehoord, laat staan ​​koos ze bewust. Om te begrijpen wat er gebeurt, zullen we uitleggen hoe muziek zou worden gemaakt met een ander soort spectrum.

Een manier zou als volgt kunnen zijn: elke notitie die is geschreven, is zodanig dat zijn positie en duur helemaal niet afhangen van de vorige noten of hun duur. In dit geval wordt gezegd dat de samenstelling volledig willekeurig of stochastisch is. Een voorbeeld van dit type muziek is weergegeven in figuur 33 (a). Het spectrum van de audiokracht van dit type muziek is hetzelfde voor elke frequentiewaarde, wat betekent dat de waarde van de kracht dezelfde is voor alle frequentiewaarden, dat wil zeggen, het is een hoeveelheid constant. Wiskundig hangt het spectrum af van de frequentie (1 / f0), omdat f0 = 1. Een spectrum van dit type wordt wit genoemd. Als dit soort muziek op een instrument zou worden gespeeld, zouden we het zonder structuur horen; Het zou ook de indruk wekken dat er van de ene noot naar de andere altijd een verrassing zou zijn.

Een ander type spectrum, dat naar het andere einde gaat, is het spectrum dat afhangt van de frequentie (1 / f²), bruin of bruin genoemd, een naam die werd gegeven omdat het wordt geassocieerd met de Brownse beweging die in hoofdstuk IV wordt besproken. Figuur 33 (b) toont muziek met het bruine spectrum. In de muziek hangt elke noot en de duur ervan in belangrijke mate af van de voorgaande noten. Daarom is het gevoel dat je hebt wanneer je ernaar luistert dat na het spelen van enkele noten het volgende voorspelbaar is.

In de afbeelding: (a) Voorbeeld van witte muziek. (b) Voorbeeld van bruine muziek. (c) Voorbeeld van roze muziek.

Muziek met een roze spectrum, dat wil zeggen (1 / f), is als het ware een van de gevallen van willekeurige muziek (wit spectrum) en deterministische muziek (bruin spectrum). In dit geval zijn de noten en hun duur niet erg voorspelbaar noch erg verrassend. Een voorbeeld van dit soort muziek wordt getoond in Figuur 33 (c).

Terugkomend op de bovenstaande vraag: waarom gebruikten de componisten effectief roze spectra, dat wil zeggen een wet van bevoegdheden (1 / f) om hun muziek te componeren? Er kan worden gezegd dat de componisten hebben geprobeerd, en zeker veel van Ze zijn erin geslaagd om interessante muziek te componeren. De vraag moet als volgt worden opgeworpen: waarom heeft interessante muziek een roze spectrum? Het antwoord zou kunnen zijn dat muziek met dit soort spectrum noch erg voorspelbaar (bruin spectrum), noch erg verrassend (wit spectrum) blijkt te zijn. De Nederlandse wetenschapper Balthazaar van de Pol heeft ooit gezegd dat de muziek van Bach geweldig is omdat het onvermijdelijk en tegelijkertijd verrassend is, wat betekent dat het spectrum roze is.

Omdat de muziek met een roze spectrum op zichzelf lijkt, heeft het een vergelijkbare structuur op verschillende frequentieschalen. Wat er op een frequentieschaal gebeurt, moet op elke andere frequentieschaal gebeuren. Als een dergelijke compositie met een bepaalde snelheid op magnetische tape zou worden opgenomen en met verschillende snelheden zou worden afgespeeld, zou wat te horen zou zijn vergelijkbaar zijn met wat werd opgenomen. Dit staat in contrast met wat er met de menselijke stem gebeurt, want wanneer een opname wordt afgespeeld met een snelheid, bijvoorbeeld tweemaal wat moet worden gedaan, klinkt deze erg luid. Een manier om zelf-gelijkenis te vertonen is met behulp van een elektronisch apparaat dat geluiden van de gewenste frequenties genereert. Als een geluid wordt geproduceerd dat de superpositie is van 2 noten, waarbij elke noot een octaaf (dubbele frequentie) van de vorige is en begint met een noot van 10 Hertz (Hz), (1 hertz = 1Hz = 1 / sec), De volgende 11 noten zouden van frequenties zijn:

20 = 2 x 10, 40 = 4 x10, 80 = 8 x 10, 160 = 16 x 10,

320 = 32 x 10, 640 = 64 x 10, 1280 = 128 x 10,

2560 = 256 x 10, 5120 = 5l2 x 10, 10 240 = 1024 x 10 en

20 480 = 2.048 x 10, alles in Hz-eenheden.

Laten we nu elk van deze noten veranderen voor anderen die hogere frequenties hebben met een halve toon (overeenkomend met het verschil tussen twee opeenvolgende noten van een piano); de halve toonfrequentie wordt verkregen uit de vorige noot vermenigvuldigd met 1.05946. Nu wordt het geluid gespeeld dat de superpositie is van de volgende frequenties:

10 x 1.0594 = 10.6, 20 x 1.05946 = 21.2,

40 x 1.05946 = 42.38, 80 x 1.05946 = 84.76,

160 x 1.05946 = 169.51, 320 x 1.05946 = 339.03,

640 x 1.05946 = 678.06, 1280 x 1.05946 = 1356.11,

2560x 1.05946 = 2712.22, 5120 x 1.05946 = 5424.44,

10240 x 1.05946 = 10848.88 en 20480 x 1.05946 = 21697.74 Hz

Dit geluid is hoorbaarder dan het vorige.

Als de frequentie van elk van de noten weer met een halve toon wordt verhoogd, zal de superpositie van de nieuwe geluiden een geluid met een hogere toonhoogte produceren. Als het proces van het verhogen van elk van de geluidscomponenten met een halve toon 12 keer wordt herhaald, blijkt dat het geproduceerde geluid niet te onderscheiden is van het origineel! Dit is een muzikale demonstratie van gelijkenis.

Als we bovendien de niet-hoorbare tijd / spectrumdiagrammen als referentie nemen, zullen we hebben dat we in de nuances> 20 Hz en hoger dan 28.000 Hz een harmonisch logaritme verkrijgen dat wordt uitgedrukt als een opeenvolging van enkele en dubbele gebeurtenissen in de stilte:

De sleutel tot de harmonische oscillatoren ligt in de opeenvolging van stiltes of frequentieketens van het niet-hoorbare spectrum.

De combinatie van de bovenstaande concepten resulteert in dit wonder dat we aanbieden om het nieuwe jaar 2011 te ontvangen: